Question

9．设y=f（x）是定义在R上的函数，如果存在A点，对函数y=f（x）的图象上任意点P，P关于点A的对称点Q也在函数y=f（x）的图象上，则称函数y=f（x）关于点A对称，A称为函数f（x）的一个对称点，对于定义在R上的函数f（x），可以证明点A（a，b）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（a-x）+f（a+x）=2b，x∈R．
（1）求函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点；
（2）函数g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由；
（3）函数g（x）=$\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$的图象是否有对称点？若存在则求之，否则说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A（a，b）为函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点，由题意求得a、b的值，可得函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点．
（2）（2）假设A（m，n）是函数g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象的一个对称点，由f（m-x）+f（m+x）=2n求得m、n无解，可得g（x）的图象无对称点．
（3）（3）假设A（m，n）是函数$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{2}{{{e^x}+1}}+1$的图象的一个对称点，根据f（m-x）+f（m+x）=2n，求得m、n的值，可得结论．

解答 解：（1）设A（a，b）为函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点，
则f（a-x）+f（a+x）=2b对于x∈R恒成立，即（a-x）³+3（a-x）²+（a+x）³+3（a+x）²=2b对于x∈R恒成立，
∴（6a+6）x²+（2a³+6a²-2b）=0．
由$\left\{\begin{array}{l}6a+6=0\\ 2{a^3}+6{a^2}-2b=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}\right.$，故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．
（2）假设A（m，n）是函数g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象的一个对称点，
则a（m-x）²+b（m-x）+c+a（m+x）²+b（m+x）+c=2n（a≠0）对于x∈R恒成立，
即ax²+（am²+bm+c-n）=0对于x∈R恒成立，因为a≠0，所以ax²+（am²+bm+c-n）=0不恒成立，
即函数g（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象无对称点．
（3）假设A（m，n）是函数$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{2}{{{e^x}+1}}+1$的图象的一个对称点，
则$\frac{2}{{{e^{m-x}}+1}}+1+\frac{2}{{{e^{m+x}}+1}}+1=2n$对于x∈R恒成立，
即（2-n）e^me^2x+[（1-n）（1+e^2m）+2]e^x+（2-n）e^m=0对于x∈R恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}（2-n）{e^m}=0\\（1-n）（1+{e^{2m}}）+2=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}m=0\\ n=2\end{array}\right.$，
故函数$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}$的图象有一个对称点A（0，2）．
（其实$g（x）=\frac{{{e^x}+3}}{{{e^x}+1}}=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}+2$，而函数$y=\frac{{1-{e^x}}}{{1+{e^x}}}$是奇函数，其图象关于原点对称，故g（x）的图象关于（0，2）对称）．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性，函数的恒成立问题，属于中档题．