Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₁的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF₂的周长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足 (O为坐标原点)，当＜时，求实数t的取值范围．

Answer 1

解析：　(1)由题意知椭圆的离心率e＝＝，∴e²＝＝＝，即a²＝2b².

又△EGF₂的周长为4，即4a＝4，∴a²＝2，b²＝1.

∴椭圆C的方程为＋y²＝1.

(2)由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0.

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，由，

得(1＋2k²)x²－8k²x＋8k²－2＝0.

由Δ＝64k⁴－4(2k²＋1)(8k²－2)＞0，得k²＜.

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

∵，∴(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝t(x，y)，x＝＝[k(x₁＋x₂)－4k]＝.

∵点P在椭圆C上，∴＝2，

∴16k²＝t²(1＋2k²)．

∵∴(1＋k²)[(x₁＋x₂)²－4x₁x₂]＜，

∴(1＋k²)＜，

∴(4k²－1)(14k²＋13)＞0，∴k²＞.

∴＜k²＜.

∵16k²＝t²(1＋2k²)，∴t²＝＝8－，

又<1＋2k²<2，∴<t²＝8－＜4，

∴－2＜t＜－或＜t＜2，

∴实数t的取值范围为