Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知椭圆C与直线x-y+m=0相交于不同的两点M、N，且线段MN的中点不在圆x²+y²=1内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用离心率与焦距，求出a²=2，b²=1，即可得到椭圆的方程．
（2）联立方程$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y，利用判别式求出m的范围，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理求出MN中点坐标，通过MN的中点不在圆x²+y²内，得到不等式，求解即可．

解答 解：（1）由题意知$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，2c=2，又a²-b²=c²，解得$a=\sqrt{2}$，c=1，∴a²=2，b²=1
故椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（2分）
（2）联立方程$\left\{\begin{array}{l}x-y+m=0\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0
则$△=16{m^2}-12（2{m^2}-2）＞0⇒-\sqrt{3}＜m＜\sqrt{3}$…（5分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{4m}{3}$，${y_1}+{y_2}=\frac{2m}{3}$
∴MN中点坐标为$（-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}）$…（8分）
因为MN的中点不在圆x²+y²内，
所以${（-\frac{2m}{3}）^2}+{（\frac{m}{3}）^2}≥1⇒m≥\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$或$m≤-\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$…（10分）
综上，可知$-\sqrt{3}＜m≤\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$或$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}≤m＜\sqrt{3}$…（12分）
注：用点差法酌情给分

点评 本题考查椭圆的方程的求法，在下雨椭圆的位置关系的综合应用，圆的方程的综合应用，考查计算能力．