Question

4．已知a，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=3$，则（a+1）（b+2）的最小值为$\frac{50}{9}$．

Answer 1

分析 由题意可得ab=$\frac{1}{3}$（2a+b），展开代入可得（a+1）（b+2）=$\frac{4}{9}$（2a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）+2=$\frac{4}{9}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）+2，由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=3$，
∴$\frac{2a+b}{ab}$=3，∴ab=$\frac{1}{3}$（2a+b），
∴（a+1）（b+2）=ab+2a+b+2
=$\frac{4}{3}$（2a+b）+2=$\frac{4}{9}$（2a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）+2
=$\frac{4}{9}$（4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）+2≥$\frac{4}{9}$（4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$）+2=$\frac{50}{9}$，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$即a=$\frac{2}{3}$且b=$\frac{4}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{50}{9}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体代换是解决问题的关键，属中档题．