Question

已知函数f（x）=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a），求g（a）．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：确定函数的定义域，利用换元法，转化为二次函数求最值，即可得出结论．

解答： 解：由题意得函数f（x）的定义域为[-1，1]．
由t=

1+x

+

1-x

平方得t²=2+2

1-x2

．
由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，
所以t的取值范围是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t²-1，∴h（t）=at²+t-a，定义域为[

2

，2]．
由题意知g（a）即为函数h（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直线t=-

1

a

是抛物线h（t）=

1

2

at²+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论：
①当a＞0时，函数y=h（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②当a=0时，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③当a＜0时，函数y=h（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，t=-

1

a

＞0．
若t=-

1

a

∈（0，

2

），即a＜-

2

2

时，则g（a）=h（

2

）=

2

；
若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

2

≤a≤-

1

2

时，则g（a）=h（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
若t=-

1

a

∈（2，+∞），即-

1

2

＜a＜0时，则g（a）=h（2）=a+2．
综上所述，g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ≤a≤- 1 2 2 ，a＞- 2 2

．

点评：本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．