Question

已知在平面直角坐标系xoy中，点P（x，y），Q（x，-2），且以线段PQ为直径的圆经过原点O．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）过点M（0，-2）的直线l与轨迹C交于两点A、B，点A关于y轴的对称点为A′，试问直线A′B是否恒过一定点，若是，并求此定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于以线段PQ为直径的圆经过原点O，可得

OP

•

OQ

=0，即可得出；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（-x₁，y₁）．与抛物线方程联立可得x²-2kx+4=0，由△＞0，可得k＞2或k＜-2．得到根与系数的关系，而直线直线A′B的方程为：y-y1=

y2-y1

x2+x1

（x+x₁），把根与系数的关系代入可得2y=（x₂-x₁）x+4，令x=0，即可得出直线恒过定点．

解答： 解：（1）∵以线段PQ为直径的圆经过原点O，
∴

OP

•

OQ

=0，
∴（x，y）•（x，-2）=x²-2y=0，
化为x²=2y，
∴动点P的轨迹C为抛物线：x²=2y．
（2）由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=kx-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（-x₁，y₁）．
联立

y=kx-2 x2=2y

，
化为x²-2kx+4=0，
△=4k²-16＞0，
解得k＞2或k＜-2．
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=4．
直线直线A′B的方程为：y-y1=

y2-y1

x2+x1

（x+x₁），
又∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴2ky-2k（kx₁-2）=（kx₂-kx₁）x+kx₁x₂-k

x

2 1

，
化为2y=（x₂-x₁）x+x₁（2k-x₁），
∵x₁（2k-x₁）=4，
∴2y=（x₂-x₁）x+4，
令x=0，则y=2，
∴直线A′B恒过一定点（0，2）．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、数量积运算性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．