Question

设向量

a

，

b

满足|

a

|=

1

2

，|

b

|=3，x是

b

在

a

的方向上的正射影的数量，则函数y=|

a

|x的值域是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：由题意知，向量

b

在

a

方向上的射影的数量是x=|

b

|•cosθ，且θ∈[0，π]，所以x∈[-3，3]，则函数y的最大值为(

1

2

)-3=8，最小值为(

1

2

)3=

1

8

，值域可求．

解答： 解：∵向量

a

，

b

的夹角为θ，且|

a

|=

1

2

，|

b

|=3，
∴向量

b

在

a

方向上的射影的数量是：x=|

b

|•cosθ=3cosθ，
又∵0≤θ≤π，∴-1≤cosθ≤1，∴-3≤x≤3；
由于y=(

1

2

)x在R上递减，
则函数y=|

a

|x的最大值为(

1

2

)-3=8，最小值为(

1

2

)3=

1

8

，
则函数y的值域为[

1

8

，8]．
故答案为：[

1

8

，8]．

点评：本题考查了平面向量中一向量在另一向量方向上的射影，向量的夹角，指数函数的单调性的运用等概念，是基础题．