Question

已知圆O：x²+y²=1和点A（-2，0），若存在定点B（b，0）（b≠-2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=λ|MA|，则点P（b，λ）到直线（m+n）x+ny-2n-m=0距离的最大值为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：利用|MB|=λ|MA|，可得（x-b）²+y²=λ²（x+2）²+λ²y²，由题意，取（1，0）、（-1，0）分别代入，即可求得b、λ，直线（m+n）x+ny-2n-m=0，即m（x-1）+n（x+y-2）=0过点（1，1），利用两点间的距离公式，即可得出结论．

解答： 解：设M（x，y），则
∵|MB|=λ|MA|，
∴（x-b）²+y²=λ²（x+2）²+λ²y²，
由题意，取（1，0）、（-1，0）分别代入可得（1-b）²=λ²（1+2）²，（-1-b）²=λ²（-1+2）²，
∴b=-

1

2

，λ=

1

2

．
直线（m+n）x+ny-2n-m=0，即m（x-1）+n（x+y-2）=0过点（1，1），
∴点P（b，λ）到直线（m+n）x+ny-2n-m=0距离的最大值为

(- 1 2 -1)2+( 1 2 -1)2

=

10

2

．
故答案为：

10

2

．

点评：本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．