Question

已知函数f（x）=

mx+n

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

（1）求实数m，n的值
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）奇函数在原点有定义时，f（0）=0，从而可求得n=0，而由f(

1

2

)=

2

5

可求出m；
（2）根据增函数的定义，设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，通过作差的方法证明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答： 解：（1）∵f（x）为（-1，1）上的奇函数
∴f（0）=0；
∴n=0；
∵f(

1

2

)=

2

5

；
∴

m 2

5 4

=

2

5

；
∴m=1；
（2）f（x）=

x

1+x2

；
设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评：考查奇函数的定义，以及根据增函数的定义证明函数为增函数的方法与过程．