Question

若不等式ax²＞lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先分离参数，化为a＞

lnx+1

x2

，在x∈（0，+∞）上恒成立，然后只需求出f（x）=

lnx+1

x2

，（x＞0）的最大值即可．结合导数的知识容易解决问题．

解答： 解：若不等式ax²＞lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，
只需a＞

lnx+1

x2

，在x∈（0，+∞）上恒成立，
令f（x）=

lnx+1

x2

，（x＞0）
因为f′(x)=-

2lnx+1

x3

，（x＞0），
令f′（x）=0得x=

1

e

，易知当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＞0；当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＜0．
故f（x）在(0，

1

e

]上递增，在(

1

e

，+∞)上递减．
所以f(x)max=f(

1

e

)=

e

2

．
故要使原不等式恒成立，只需a＞

e

2

，
即所求a的范围是（

e

2

，+∞）．

点评：本题考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题求解，能分离参数的尽量分离参数，注意导数在研究函数最值问题中的应用．