Question

点P为底边长为2

3

，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则

PM

•

PN

取值范围是（　　）

• A、[0，2]
• B、[0，3]
• C、[0，4]
• D、[-2，2]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：由题意，问题等价于已知MN是边长为2

3

的正△ABC内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，求

PM

•

PN

的取值范围．建立直角坐标系，利用正三角形的中心的性质，可得内切圆的半径r=1．可得正△ABC内切圆的方程为x²+（y-1）²=1．设P（t，0）（-

3

≤t≤

3

），M（x₀，y₀），N（-x₀，2-y₀），再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：由题意，问题等价于已知MN是边长为2

3

的正△ABC
内切圆的一条直径，P为边AB上的一动点，
求

PM

•

PN

的取值范围．
建立如图所示的直角坐标系，
∵⊙D是边长为2

3

的正△ABC内切圆，
∴内切圆的半径r=

1

3

|OC|=

1

3

×

3

2

×2

3

=1．
∴正△ABC内切圆的方程为x²+（y-1）²=1．
设P（t，0）（-

3

≤t≤

3

），
M（x₀，y₀），N（-x₀，2-y₀）．

PM

=（x₀-t，y₀），

PN

=（-x₀-t，2-y₀），
∴x₀²+（y₀-1）²=1，即x₀²+y₀²-2y₀=0．
∴

PM

•

PN

=t²-（x₀²+y₀²-2y₀）=t²，
∵-

3

≤t≤

3

．∴t²∈[0，3]．
∴

PM

•

PN

的取值范围的取值范围是[0，3]．
故选B．

点评：本题考查了正三角形的中心的性质、内切圆的方程、数量积的运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．