Question

已知向量

a

=(cosx，sin

x

2

)，

b

=(0，cos

x

2

)，x∈R，若函数f（x）=2+sinx-|a-b|²，且函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于原点成中心对称．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-

π

2

，

π

2

]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先根据向量的坐标运算求出向量的坐标和向量的模，进一步求出f（x）的关系式及g（x）的关系式．
（Ⅱ）利用上步的结论，进一步利用三角函数的导数与函数的单调性的关系，利用恒成立问题求出参数的范围．

解答： 解：（Ⅰ）向量

a

=(cosx，sin

x

2

)，

b

=(0，cos

x

2

)，则：

a

-

b

=(cosx，sin

x

2

-cos

x

2

)
|

a

-

b

|=|

a

-

b

|2=cos2x+1-sinx
则：f（x）=2+sinx-|a-b|²
=2+2sinx-cos²x
=sin²x+2sinx
由于函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于原点成中心对称．
所以：g（x）=-f（-x）=-sin²x+2sinx
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：h（x）=g（x）-λf（x）+1
=-sin²x+2sinx-λsin²x-2λsinx+1
=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1sin²x+2（1-λ）sinx+1
所以：h′（x）=-（1+λ）2sinxcosx+2（1-λ）cosx
=2cosx[-（1+λ）sinx+1-λ]
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]函数h（x）是增函数．
所以h′（x）≥0
又由于cosx≥0
故只需[-（1+λ）sinx+1-λ]＞0即可．
则：λ＜

1-sinx

1+sinx

=

2

1+sinx

-1
则λ≤(

2

1+sinx

-1)min即可
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]时，(

2

1+sinx

-1)min≥0
所以：λ≤0

点评：本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，函数图象的对称问题，三角函数的导数与单调性的关系恒成立问题的应用，属于中等题型．