Question

如图所示，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA并交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：∠EFD=∠DAE；
（Ⅱ）求证：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）连结AD，得∠ADB=90°，从而∠ADE=90°，再由∠AFE=90°，得A、D、E、F四点共圆，从而能证明∠EFD=∠DAE．
（2）由A、D、E、F四点共圆，得BD•BE=BA•BF，再由△ABC～△AEF，得AB•AF=AE•AC，由此能证明AB²=BD•BE-AE•AC．

解答： 证明：（Ⅰ）连结AD，∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，∴∠ADE=90°，
又∵∠AFE=90°，∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠EFD=∠DAE．
（2）由A、D、E、F四点共圆，得BD•BE=BA•BF，
又∵△ABC～△AEF，∴

AB

AE

=

AC

AF

，
∴AB•AF=AE•AC，
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB•（BF-AF）=AB²，
∴AB²=BD•BE-AE•AC．

点评：本题考查两角相等的证明，考查AB²=BE•BD-AE•AC的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意四点共圆的性质的合理运用．