Question

如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．
（I）求证：∠EAC=2∠DCE；
（Ⅱ）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,弦切角

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）由等腰三角形性质得∠BCD=∠CBD，由弦切角定理得∠ECD=∠CBD，从而∠BCE=2∠ECD，由此能证明∠EAC=2∠ECD．
（Ⅱ）由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC²=AE•BE，由此能求出AB的长．

解答： （Ⅰ）证明：因为BD=CD，所以∠BCD=∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD=∠CBD．
所以∠ECD=∠BCD，所以∠BCE=2∠ECD．
因为∠EAC=∠BCE，所以∠EAC=2∠ECD．…（5分）
（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC=AB．
因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．
由切割线定理得EC²=AE•BE，即AB²=AE•（ AE-AB），即
AB²+2 AB-4=0，解得AB=

5

-1．…（10分）

点评：本题考查一个角是另一个角的二倍的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、切割线定理的合理运用．