Question

设

a

=（-

3

2

，cosωx），

b

=（1，

3

cosωx-sinωx）（ω＞0），f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[

π

12

，

7π

12

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）首先利用向量的数量积对三角函数的关系式进行三角恒等变换，把三角函数变形成余弦型函数，进一步利用函数的周期求出函数的解析式．
（Ⅱ）直接利用上步的结论，利用函数的定义域求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=（-

3

2

，cosωx），

b

=（1，

3

cosωx-sinωx）（ω＞0），
则：f（x）=

a

•

b

=

3

cos2ωx-sinωxcosωx-

3

2

=

3 (cos2ωx+1)

2

-

sin2ωx

2

-

3

2

=cos2ωxcos

π

6

-sin2ωxsin

π

6

=cos（2ωx+

π

6

)
若f（x）的最小正周期是π
所以：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=cos(2x+

π

6

)
由于：x∈[

π

12

，

7π

12

]
所以：2x+

π

6

∈[

π

3

，

4π

3

]
所以：函数f（x）的值域为：[-1，

1

2

]

点评：本题考查的知识要点：利用向量的数量积对三角函数进行恒等变换，利用函数的周期求函数的解析式，利用函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．