Question

如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
（1）求证：FG∥AC；
（2）若CG=1，CD=4．求

DE

GF

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,相似三角形的判定

专题：直线与圆,推理和证明

分析：（1）由切割线定理得AB²=AD•AE，从而AD•AE=AC²，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．
（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出

DE

GF

．

解答： （1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB²=AD•AE，
又∵AC=AB，∴AD•AE=AC²．
∴

AD

AC

=

AC

AE

，又∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，
又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，
∴FG∥AC．（5分）
（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，
∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．
∴△CGF∽△CDE，∴

DE

GF

=

CD

CG

．
又∵CG=1，CD=4，∴

DE

GF

=4．（10分）

点评：本题考查两直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．