Question

16．（1）求函数$f（x）=\frac{1}{{1+\frac{1}{x}}}$的定义域；
（2）求函数$f（x）=x+\sqrt{x-1}$的值域；
（3）画出函数$f（x）=|{x+1}|+\sqrt{{{（x-2）}^2}}$的图象并通过图象写出值域以及单调区间．

Answer 1

分析 （1）由分母不为零列不等式组解出；
（2）令$\sqrt{x-1}$=t，使用换元法解出值域；
（3）化简f（x）的解析式，作出函数图象，根据图象得出结论．

解答 解：（1）由f（x）有意义得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{1+\frac{1}{x}≠0}\end{array}\right.$解得x≠0且x≠-1．
∴f（x）的定义域为{x|x≠0且x≠-1}．
（2）由f（x）有意义得x-1≥0，即x≥1．
设t=$\sqrt{x-1}$，则x=t²+1（t≥0），
∴x+$\sqrt{x-1}$=t²+t+1=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
令g（t）=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，则g（t）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（t）≥g（0）=1．
∴f（x）=x+$\sqrt{x-1}$的值域为[1，+∞）．
（3）f（x）=|x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1，x≤-1}\\{3，-1＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$，
作出函数图象如图所示：

由图象可知f（x）的值域为[3，+∞），单调增区间为[2，+∞），单调减区间为（-∞，-1]．

点评 本题考查了函数定义域，值域的求法，分段函数的图象与性质，属于中档题．