Question

5．某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数（单位：分钟）．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t，结果如表所示．

类别	铁观音	龙井	金骏眉	大红袍
顾客数（人）	20	30	40	10
时间t（分钟/人）	2	3	4	6

注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
（1）求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X的分布列及均值．

Answer 1

分析 （1）由题意知t的分布列，由此计算服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
（2）由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算均值（数学期望）．

解答 解：（1）由题意知t的分布列如下：

t	2	3	4	6
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{10}$

设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”，则事件A对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；
②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟；
所以P（A）=P（t=2）•P（t=3）+P（t=3）•P（t=2）=$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{25}$；
（2）由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，
X=0时对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，
所以P（X=0）=P（t＞4）=P（t=6）=$\frac{1}{10}$；
X=1时对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟，
或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，
所以P（X=1）=P（t=2）•P（t＞2）+P（t=3）+P（t=4）=$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{10}$+$\frac{2}{5}$=$\frac{43}{50}$；
X=2时对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，
所以P（X=2）=P（t=2）•P（t=2）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{25}$；
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{43}{50}$	$\frac{1}{25}$

X的均值为E（X）=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{43}{50}$+2×$\frac{1}{25}$=$\frac{47}{50}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．