Question

12．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点．
（I）求椭圆C标准方程；
（Ⅱ）直线x=2，与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点为$（0，2\sqrt{3}）$．由题意可设椭圆的标准方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），则b=2$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）①把x=2代入椭圆方程可得：|PQ|=6．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆方程可得：x²+tx+t²-12=0，△＞0．|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．四边形APBQ面积S=$\frac{1}{2}×$6×|x₁-x₂|，利用二次函数的单调性即可得出四边形APBQ面积S取得的最大值．
②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA，PB的斜率之和为0．设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k．直线PA的方程为：y-3=k（x-2），与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，利用根与系数的关系可得x₁+2，同理PB的直线方程为：y-3=-k（x-2），可得x₂+2．利用斜率计算公式可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．

解答 解：（I）抛物线x²=8$\sqrt{3}$y的焦点为$（0，2\sqrt{3}）$．
由题意可设椭圆的标准方程可得：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则b=2$\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=4，c=2．
∴椭圆C标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（II）①把x=2代入椭圆方程可得：$\frac{4}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，解得y=±3．∴|PQ|=6．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+t，代入椭圆方程可得：x²+tx+t²-12=0，
由△＞0，可得：-4＜t＜4．
∴x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12．
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{48-3{t}^{2}}$．
∴四边形APBQ面积S=$\frac{1}{2}×$6×|x₁-x₂|=3$\sqrt{48-3{t}^{2}}$．
当t=0时，四边形APBQ面积S取得最大值12$\sqrt{3}$．
②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA，PB的斜率之和为0．设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k．
直线PA的方程为：y-3=k（x-2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$．，化为：（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0，
∴x₁+2=$\frac{8k（2k-3）}{3+4{k}^{2}}$，
同理PB的直线方程为：y-3=-k（x-2），可得x₂+2=$\frac{8k（2k+3）}{3+4{k}^{2}}$．
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-48k}{3+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+3+k（{x}_{2}-2）-3}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、斜率计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．