Question

17．已知过原点的动直线l与圆C₁：x²+y²-6x+5=0．
（1）求直线l与圆相交时，它的斜率K的取值范围；
（2）当l与圆相交于不同的两点A，B时，求线段AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）通过将圆C₁的一般式方程化为标准方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，求出k的取值范围；
（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C₁的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论

解答 解：（1）∵圆C₁：x²+y²-6x+5=0，
整理，得其标准方程为：（x-3）²+y²=4，
∴圆C₁的圆心坐标为（3，0），半径为2，
设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，∴-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$≤k≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）设直线l的方程为y=kx、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
与圆C₁，联立方程组，消去y可得：（1+k²）x²-6x+5=0，
由△=36-4（1+k²）×5＞0，可得k²＜$\frac{4}{5}$．
由韦达定理，可得x₁+x₂=$\frac{6}{1+{k}^{2}}$，
∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{1+{k}^{2}}}\\{y=\frac{3k}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$，其中-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜k＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，其中$\frac{5}{3}$＜x≤3．

点评 本题考查求圆的方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．