Question

已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．

   （1）若，．

 ①当时，求数列和的通项公式；

 ②若数列是唯一的，求的值；

   （2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值．

Answer 1

（1）①由数列是等差数列及，得，

    由数列是等比数列及，得．                  

    设数列的公差为，数列的公比为，

若，则有，解得 或 ．    

    所以，和的通项公式为或      

    ② 由题设，得，即（*）．

因为数列是唯一的，所以

若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意；

若，则，解得，代入（*）式，解得，

又，所以是唯一的等比数列，符合题意．  

所以，或．                                        

   （2）依题意，，                

设公比为，则有， （**）  

记，，则．

将（**）中的消去，整理得， 

的大根为

    而，所以 的可能取值为：

    ．

    所以，当时，的最大值为．