Question

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x；h（x）=lnx；φ（x）=x³+1（0＜x＜2）的“新驻点”分别为α，β，γ，则（　　）

• A、β＜α＜γ
• B、γ＜β＜α
• C、γ＜α＜β
• D、α＜γ＜β

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,对数函数图象与性质的综合应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：依题意得α=1，

1

β

=lnβ，3γ²=γ³+1，可得β＞1．令u（x）=3x²-x³-1，x∈（0，2），根据函数零点的判定定理求得故u（x）的零点所在的区间，可得γ的区间．

解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=

1

x

，ϕ′（x）=3x²，
∴依题意得α=1，

1

β

=lnβ，3γ²=γ³+1，
①当0＜β＜1时，

1

β

＞1，lnβ＜0，不可能相等，故β＞1．
②令u（x）=3x²-x³-1，x∈（0，2），由于u（1）=3＞0，u（0）=-1＜0，u（2）=3＞0，
故u（x）的零点所在的区间为（0，1），
故有γ＜α＜β，
故选：C．

点评：本题主要考查新定义，对数函数的图象和性质综合，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．