Question

【题目】如图，在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，设，连结，根据正六边形的性质和条件，可证明平面；（2）首先证明，即、、两两互相垂直，以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如下图所示），分别求平面和平面的法向量 ，根据公式求解.

解：（1）设，连结.

在正六边形中，根据对称性为中点，

又，，

又因为，所以.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）在正六边形中，，

所以，.

又因为，所以.

因为，所以，即，

所以、、两两互相垂直.

以、、所在的直线为轴、轴、

轴建立空间直角坐标系（如图所示）.

则，，，

，，，

设平面的一个法向量为.

由得令，解得，.

所以.

设平面的一个法向量为.

由得令，解得.

所以.

因此.

因为二面角的平面角为钝角，

故二面角的余弦值为.