Question

18．已知函数f（x）=|x-3|-2|x+1|的最大值为m．
（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a，b∈（0，+∞），a²+2b²+c²=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求出函数的值域，即可求m的值；
（ 2）由（1）知，a²+2b²+c²=4，利用基本不等式求ab+bc的最大值．

解答 解：（1）当x≤-1时，f（x）=（3-x）+2（x+1）=x+5≤4；
当-1＜x＜3时，f（x）=（3-x）-2（x+1）=-3x+1∈（-8，4）；
当x≥3时，f（x）=（x-3）-2（x+1）=-x-5≤-8．…（3分）
故当x=-1时，f（x）取得最大值m=4；
|x-3|-2|x+1|＜1，可化为
当x≤-1时，x+5＜1，∴x＜-4；当-1＜x＜3时，-3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；
当x≥3时，-x-5＜1，∴x＞-4，∴x≥3，
综上所述，不等式f（x）＜1的解集为{x|x＜-4或x＞0}；
（2）由（2）知，a²+2b²+c²=4，则ab+bc≤$\frac{1}{2}$[（a²+b²）+（b²+c²）]=2，
∴ab+bc的最大值为2．

点评 本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．