Question

11．已知函数f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）x，则下列结论中正确的是（　　）

• A． 若-3≤m＜n，则f（m）＜f（n）
• B． 若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）
• C． 若f（m）＜f（n），则m²＜n²
• D． 若f（m）＜f（n），则m³＜n³

Answer 1

分析 求出函数f（x）的定义域，运用奇偶性的定义，判断f（x）为偶函数，再求f（x）的导数，讨论x＞0，结合指数函数的单调性，即可判断单调性，对选项一一加以判断即可得到答案．

解答 解：函数f（x）=（2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$）x的定义域为R，
f（-x）=（2^-x-2^x）（-x）=x（2^x-2^-x）=f（x），
则f（x）为偶函数，
f（x）的导数f′（x）=x（2^xln2+2^-xln2）+2^x-2^-x，
当x＞0时，2^x＞1，0＜2^-x＜1，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
则由偶函数的性质，可得f（x）在（-∞，0]上递减．
对于A，若-3≤m＜n，有f（m）＞f（n），A不正确；
对于B，若m＜n≤0，则f（m）＞f（n），B不正确；
对于C，若f（m）＜f（n），即为f（|m|）＜f（|n|），则有|m|＜|n|，
即有m²＜n²，C正确；
对于D，若f（m）＜f（n），则m，n不好比较大小，则D不正确．
故选C．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查指数函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．