Question

19．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点M在椭圆上，且MF₂⊥x轴，过F₂作与OM垂直的弦CD，若△F₁CD的面积为20$\sqrt{3}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$b．因此椭圆的方程化为：x²+2y²=2c²．把x=c代入椭圆方程解得y，不妨取M$（c，\frac{\sqrt{2}c}{2}）$，由于CD⊥OM，可得k_CD=-$\sqrt{2}$．直线CD的方程为：y=-$\sqrt{2}$（x-c）．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：5x²-8cx+2c²=0，利用根与系数的关系可得|CD|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．求出点F₁（-c，0）到直线CD的距离d，利用${S}_{△{F}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}$d|CD|=20$\sqrt{3}$，解出即可得出．

解答 解：∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$c=$\sqrt{2}$b．因此椭圆的方程化为：x²+2y²=2c²．
把x=c代入椭圆方程可得：c²+2y²=2c²，解得y=±$\frac{c}{\sqrt{2}}$，不妨取M$（c，\frac{\sqrt{2}c}{2}）$，
∴k_OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_CD=-$\sqrt{2}$．
∴直线CD的方程为：y=-$\sqrt{2}$（x-c）．设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}（x-c）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，化为：5x²-8cx+2c²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8c}{5}$，x₁•x₂=$\frac{2{c}^{2}}{5}$，
∴|CD|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{3（\frac{64{c}^{2}}{25}-4×\frac{2{c}^{2}}{5}）}$=$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$．
点F₁（-c，0）到直线CD的距离d=$\frac{|\sqrt{2}c+\sqrt{2}c|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}CD}$=$\frac{1}{2}$d|CD|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$×$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$=20$\sqrt{3}$，
解得c²=150．
∴a²=300，b²=150．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{300}$+$\frac{{y}^{2}}{150}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．