Question

19．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤1}\\{（x-2）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x₁、x₂、x₃、x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=4．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，由x₁、x₂关于原点对称，x₃、x₄关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．

解答 解：作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤1}\\{（x-2）^{2}，x＞1}\end{array}\right.$的图象，
方程f（x）=b有四个不同的实数解，
等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，
不妨设它们交点的横坐标为x₁、x₂、x₃、x₄，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
由x₁、x₂关于原点对称，x₃、x₄关于（2，0）对称，
可得x₁+x₂=0，x₃+x₄=4，
则x₁+x₂+x₃+x₄=4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数方程的转化思想，考查数形结合思想方法以及对称性的运用，考查运算能力，属于中档题．