Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的离心率e=

2

3

，A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0）．
（1）设AB的中点为C（x₀，y₀），求x₀的值；
（2）若F是椭圆的右焦点，且AF+BF=3，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先，根据点P和点C的坐标，写出它们的斜率，再根据离心率关系，化简椭圆的方程，利用点差法求x₀的值；
（2）直接根据椭圆的焦半径公式进行求解，确定a=3，然后，结合离心率关系，得到其方程．

解答： 解：（1）线段AB的垂直平分线的斜率Kcp=

n-0

m-1

，
∴直线AB的斜率Kab=

1-m

n

，
∵e=

2

3

，
∴c2=

4a2

9

，
∴b2=a2-c2=

5a2

9

，把它代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得5x²+9b²-5a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则5x₁²+9y₁²-5a²=0，①
5x₂²+9y₂²-5a²=0，②
①-②得5（x₁+x₂）（x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵x₁+x₂=2m，y₁+y₂=2n，（y₁-y₂）/（x₁-x₂）=Kab，
∴5m+9n×=

1-m

n

=0，
∴m=

9

4

．
（2）椭圆的焦半径|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，
∵|AF|+|BF|=3，
∴2a-

2

3

（x₁+x₂）=3，
∴2a=6，a=3，
∴椭圆的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

点评：本题重点考查了椭圆的方程、椭圆的图形和几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．