Question

定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x-1）•f′（x）-f（x）（x-1）′＞0恒成立，若a=f（2），b=

1

2

f（3），c=

1

2 -1

f（

2

），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、c＜a＜b
• B、a＜b＜c
• C、b＜a＜c
• D、a＜c＜b

Answer 1

考点：函数恒成立问题,不等式比较大小

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令F（x）=

f(x)

x-1

，可知F（x）在（1，+∞）上是增函数；且a=f（2）=

f(2)

2-1

=F（2），b=

1

2

f（3）=F（3），c=

1

2 -1

f（

2

）=F（

2

）比较函数值的大小．

解答： 解：令F（x）=

f(x)

x-1

，则
∵x∈（1，+∞）时，（x-1）•f′（x）-f（x）（x-1）′＞0恒成立，
∴F′（x）=

f′(x)(x-1)-f(x)(x-1)′

(x-1)2

＞0
∴F（x）在（1，+∞）上是增函数；
又∵a=f（2）=

f(2)

2-1

=F（2），b=

1

2

f（3）=F（3），c=

1

2 -1

f（

2

）=F（

2

），
且

2

＜2＜3，
∴F（

2

）＜F（2）＜F（3）．
即c＜a＜b．
故选A．

点评：本题通过构造函数，化三个值为三个函数值，从而由函数的单调性判定大小，属于难题，关键在于构造函数．