Question

4．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|，对x∈R恒成立，且f（$\frac{π}{2}$）＞f（π）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）|f（$\frac{π}{6}$）|为f（x）的最大值1，解出φ，根据f（$\frac{π}{2}$）＞f（π）判断φ的取值，得出f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性得出不等式，解出单调减区间，与[0，π]取交集即可．

解答 解：（1）若$f（x）≤|f（\frac{π}{6}）|$对x∈R恒成立，则$|f（\frac{π}{6}）|=|sin（\frac{π}{3}+φ）|=1$，
所以$\frac{π}{3}+φ=kπ+\frac{π}{2}$，$φ=kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z，
由$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，可知sin（π+φ）＞sin（2π+φ），即sinφ＜0，
所以$φ=2kπ+\frac{7π}{6}$，k∈Z，代入得$f（x）=sin（2x+\frac{7π}{6}）$．
（2）由（1）知$f（x）=-sin（2x+\frac{π}{6}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$，k∈Z
记A=[0，π]，$B=\{x|kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z\}$，
易得$A∩B=[0，\frac{π}{6}]∪[\frac{2π}{3}，π]$，
所以函数在[0，π]上的减区间为$[0，\frac{π}{6}]$，$[\frac{2π}{3}，π]$．

点评 本题考查了正弦函数的单调性，函数解析式的求解，属于中档题．