Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

2

，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，

2

)且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用条件2b=2，

c

a

=

2

2

，求出a，b，c即可求出椭圆方程；
（2）先把直线方程和椭圆方程联立消去y，对应判别式大于0，找到一个关于k的不等式．再求出向量OP，OQ，AB的坐标，利用向量

OP

+

OQ

与

AB

共线求出k的值，看是否满足判别式大于0即可下结论．

解答：解：（1）由已知得

2b=2 c a =1 a2=b2+c2

?

a= 2 b=1 c=1

故椭圆方程是

x2

2

+y2=1（4分）
（2）由已知条件，直线l：y=kx+

2

，代入椭圆方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B（0，1），

AB

=(-

2

，1)，
所以

OP

+

OQ

与

AB

共线等价于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)，
将②③代入上式，解得k=

2

2

，（10分）
又k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故没有符合题意的常数k．（12分）

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是把直线方程和椭圆方程联立消去其中一个变量，得到一个关于直线与圆锥曲线交点坐标的方程，再利用题中条件求解．