Question

已知点P(3,4)是椭圆＋＝1 (a>b>0)上的一点，F₁、F₂为椭圆的两焦点，若PF₁⊥PF₂，试求：

(1)椭圆的方程；

(2)△PF₁F₂的面积．

Answer 1

解　(1)令F₁(－c,0)，F₂(c,0)，

则b²＝a²－c².因为PF₁⊥PF₂，

所以kPF₁·kPF₂＝－1，即＝－1，

解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.

因为点P(3,4)在椭圆上，所以＋＝1.

解得a²＝45或a²＝5.

又因为a>c，所以a²＝5舍去．

故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)由椭圆定义知PF₁＋PF₂＝6，①

又PF＋PF＝F₁F＝100，②

①²－②得2PF₁·PF₂＝80，

所以S△PF₁F₂＝PF₁·PF₂＝20.