Question

6．甲、乙两地准备开通全线长1750km的高铁．已知运行中高铁每小时所需的能源费用W（万元）和速度V（km/h）的立方成正比，当速度为100km/h时，能源费用是每小时0.06万元，其余费用（与速度无关）是每小时3.24万元，已知最大速度不超过C（km/h）（C为常数，0＜C≤400）．
（1）求高铁运行全程所需的总费用y与列车速度v的函数关系；
（2）当高铁速度为多少时，运行全程所需的总费用最低？

Answer 1

分析 （1）先设出函数关系式，代入速度与每小时燃料费的关系值求出比例系数即可；
（2）根据题设要求设出行驶总费用与速度之间的函数关系式，再利用函数的导数去求函数的最小值即可．

解答 解：（1）设能源费用每小时是w千元，车速是vkm/h，依题意有w=kv³（k为比例系数），
将v=100，w=0.06代入得k=6×10^-8．于是有w=6×10^-8v³．
因此列车从甲地行驶到乙地，所需的总费用为y=$\frac{1750}{v}$（w+3.24）=1750（6×10^-8v²+$\frac{3.24}{v}$），（0＜v≤C）（C为常数，0＜C≤400）．
（2）由（1）化简得y=105（10^-6v²+$\frac{54}{v}$），
设f（x）=10^-6x²+$\frac{54}{x}$，x＞0，
所以f′（x）=2×10^-6x-$\frac{54}{{x}^{2}}$，
当f′（x）＞0时，解得x＞300，当f′（x）＜0时，解得0＜x＜300，
所以0＜C＜300，函数在（0，C]上单调递减，v=C时，运行全程所需的总费用最低；
300≤C≤400时，v=300，运行全程所需的总费用最低．

点评 本题是实际应用题，考查学生建立函数模型的能力，以及利用函数的导数研究给定区间上函数的最值问题，是高考的常考知识点．