Question

16．《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（　　）  （注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈$\frac{5}{13}$）

• A． 600立方寸
• B． 610立方寸
• C． 620立方寸
• D． 633立方寸

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．

解答 解：如图，
AB=10（寸），则AD=5（寸），CD=1（寸），
设圆O的半径为x（寸），则OD=（x-1）（寸），
在Rt△ADO中，由勾股定理可得：5²+（x-1）²=x²，解得：x=13（寸）．
∴sin∠AOD=$\frac{AD}{AO}=\frac{5}{13}$，即∠AOD≈22.5°，则∠AOB=45°．
则弓形$\widehat{ACB}$的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{π}{4}×1{3}^{2}-\frac{1}{2}×10×12$≈6.33（平方寸）．
则算该木材镶嵌在墙中的体积约为V=6.33×100=633（立方寸）．
故选：D．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．