Question

已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。
（1）      求椭圆C的方程；
（2）      求线段MN长度的最小值；
（3）      当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于.
试确定点T的个数。

Answer 1

 解（1）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为         …………………………………………….3分
(2 ) 易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在，且
故可设直线AS的方程为，从而
由得
设，则，得
从而，即
又,故直线BS的方程为
由得，所以
故
又，所以
当且仅当时，即时等号成立
所以时，线段MN的长度取最小值        ………………………………..9分
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，
此时AS的方程为，,
因为点T到直线AS的距离等于，
所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上
设，则由，解得
① 当时，由得
由于，故直线与椭圆C有两个不同交点
②时，由得
由于，故直线与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2.                ……………………………………………..14分

略