Question

14．在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，则点M的坐标为$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

Answer 1

分析 由题意设出与直线x+2y-10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式等于0求得m，进一步求得M的坐标．

解答 解：设与直线x+2y-10=0平行的直线方程为直线x+2y+m=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得25x²+18mx+9m²-144=0．
由△=（18m）²-100（9m²-144）=0，得m=±5．
则当m=5时，直线x+2y-5=0与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的切点M到直线x+2y-10=0的距离最小，
此时25x²+18mx+9m²-144=0化为25x²+90x-81=0．
解得x=$\frac{9}{5}$，代入x+2y-5=0得y=$\frac{8}{5}$．
∴点M的坐标为$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．
故答案为：$（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．