Question

5．已知f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x，
（1）求f（x）的周期和单调增区间；
（2）若f（x）图象向左平移$\frac{π}{8}$得到函数g（x）的图象，求g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将函数进行化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）由（1）可得f（x）图象向左平移$\frac{π}{8}$得到函数g（x）的图象，在利用三角函数的图象及性质求其在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上最值，即可得到范围．

解答 解：由f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x，
化简：f（x）=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）函数的周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
由余弦函数的性质可知：2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ-π，2kπ]，（k∈Z）是单调递增区间，即2kπ-π≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ
解得：kπ-$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ-$\frac{π}{8}$
∴函数f（x）单调递增区间为[kπ-$\frac{5π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，（k∈Z）
（2）由（1）可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）向左平移$\frac{π}{8}$得到：$\sqrt{2}$cos[2（x+$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{4}$]=-$\sqrt{2}$sin2x
∴g（x）=-$\sqrt{2}$sin2x
又∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上，∴2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
由正弦函数的性质可得：
当2x=$-\frac{π}{3}$时，函数g（x）取得最大值，即g（x）${\;}_{max}=-\sqrt{2}sin（-\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{6}}{2}$
当2x=$\frac{π}{2}$时，函数g（x）取得最小值，即g（x）${\;}_{min}=-\sqrt{2}sin\frac{π}{2}=-\sqrt{2}$
故：g（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的取值范围是：[$-\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，平移，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．