Question

7．已知首项不为0的等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，满足a₄=2a₂，且S₁，S₂，S₄-1成等比数列．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）记${b_n}=\frac{1}{S_n}$，数列{b_n}的前项和T_n．若3m-8≤T_n＜2m-1对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的关系求得公差d，再求的通项公式a_n和前n项公式S_n，（Ⅱ）写出b_n写出的通项公式，利用裂项法求得前n项公式S_n，再利用函数的单调性，建立方程组，求得m的取值范围．

解答 （Ⅰ）设公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{a_4}=2{a_2}\\{S_1}•（{S_4}-1）=S_2^2\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=2（{a_1}+d），\;\;\;\;\;\;\;①\\{a_1}•（4{a_1}+6d-1）={（2{a_1}+d）^2}，\;\;②\end{array}\right.$（1分）
由①得a₁=d，代入②式得${a_1}•（10{a_1}-1）=9a_1^2$，
由a₁≠0，得10a₁-1=9a₁，所以a₁=d=1，（3分）
所以a_n=n，则${S_n}=\frac{1+n}{2}×n=\frac{1}{2}n（n+1）$．（4分）
（Ⅱ）可得${b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，（6分）
所以${T_n}=2（\frac{1}{1}-\frac{1}{2}）+2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=2（1-\frac{1}{n+1}）$，（8分）
由于$2（1-\frac{1}{n+1}）$为随n的增大而增大，可得，（10分）
∵3m-8≤T_n＜2m-1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m-8≤1}\\{2m-1≥2}\end{array}\right.$解$\frac{3}{2}≤m≤3$．
所以实数m的取值范围是$[\frac{3}{2}，3]$．（12分）

点评 本题考查求等差数列的前n项和即通项公式，以及列项法求前n项和的方法，再求m的取值范围，属于中档题．