Question

12．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（$\frac{π}{3}$，0），（$\frac{7π}{12}$，-$\sqrt{2}$）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．

解答 解：由图象可得函数的周期T满足$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，
解得T=π=$\frac{2π}{ω}$，
又∵ω＞0，故ω=2，
又∵函数图象的最低点为（$\frac{7π}{12}$，-$\sqrt{2}$），
故A=$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{7π}{12}$+φ）=-$\sqrt{2}$，
即$\frac{7π}{6}$+φ=$\frac{3π}{2}$，
故φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（0）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{3}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．