Question

3．已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，若x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在[1，2]恒成立，即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值，由单调性可得右边函数的最大值，即可得到a的范围；
（2）求出g（x）的导数，讨论①当a≤0时，②当a＞0时，若e≤$\frac{1}{a}$即0＜a≤$\frac{1}{e}$，若e＞$\frac{1}{a}$即a＞$\frac{1}{e}$时，通过单调性判断函数的最值情况，即可得到a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+ax-lnx的导数为f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$，
函数f（x）在[1，2]上是减函数，可得f′（x）≤0在[1，2]恒成立，
即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值，
由2x-$\frac{1}{x}$在[1，2]递增，可得最大值为4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
即有-a≥$\frac{7}{2}$，解得a≤-$\frac{7}{2}$；
（2）g（x）=f（x）-x²=ax-lnx，
①当a≤0时，g（x）在（0，e]递减，
x=e处取得最小值ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$＞0不成立；
②当a＞0时，g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若e≤$\frac{1}{a}$即0＜a≤$\frac{1}{e}$，则g′（x）＜0，g（x）递减，
则有最小值g（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$不成立；
若e＞$\frac{1}{a}$即a＞$\frac{1}{e}$，则在0＜x＜$\frac{1}{a}$，g′（x）＜0，g（x）递减，
在$\frac{1}{a}$＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）递增．
则有x=$\frac{1}{a}$处取得极小值，且为最小值1+lna=3，解得a=e²．
综上可得a的值为e²．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，同时考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．