Question

2．设函数f_n（x）=-xⁿ+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R），若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为$\frac{1}{2}$，则a+b=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意知|f₄（0）|=|b|≤$\frac{1}{2}$，|f₄（-1）|=|-1-3a+b|≤$\frac{1}{2}$，|f₄（1）|=|-1+3a+b|≤$\frac{1}{2}$，从而解得．

解答 解：由题意知，f₄（x）=-x⁴+3ax+b，
∵|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为$\frac{1}{2}$，
∴|f₄（0）|=|b|≤$\frac{1}{2}$，
|f₄（-1）|=|-1-3a+b|≤$\frac{1}{2}$，
|f₄（1）|=|-1+3a+b|≤$\frac{1}{2}$，
讨论可知|-1-3a+b|与|-1+3a+b|中至少有一个为|3a|+|b-1|，
故|3a|+|b-1|≤$\frac{1}{2}$，
故a=0，b=$\frac{1}{2}$；
故a+b=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了转化思想的应用及绝对值不等式的解法，属于中档题．