Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求a_n的通项公式及S₁₀．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）（n∈N^*）．
∴${a}_{1}=\frac{1}{3}（{a}_{1}-1）$，a₁+a₂=$\frac{1}{3}（{a}_{2}-1）$，a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{3}$（a₃-1），
联立解得a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{4}$，a₃=$-\frac{1}{8}$．
（2）由S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1）-$\frac{1}{3}$（a_n-1-1），
化为：${a}_{n}=-\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为-$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
S_n=$\frac{-\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=-$\frac{1}{3}$$[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．