Question

13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow 0$，A（1，1），则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$的取值范围为[-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由三角形的外心和重心的概念，可得O既是外心也为重心，则有△BCD为圆O：x²+y²=1的内接等边三角形，又$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$，由向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：由|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OD}$|=1，可知O为外心，
又$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow 0$，可知O又为重心．
则有△BCD为圆O：x²+y²=1的内接等边三角形，
即有$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OD}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos120°-|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞
=-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞，由于0≤＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞≤π，
则-1≤cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$＞≤1，
即有$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{OB}$∈[-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

点评 本题考查向量的数量积的定义，主要考查余弦函数的值域，运用三角形的外心和重心的定义和向量的三角形法则是解题的关键，是中档题．