Question

1．如图：已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，对角线AC=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}a$，BD=$\sqrt{2}a$，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析 取BD的中点M，连接AM，CM，则∠AMC为要求的二面角的平面角，利用余弦定理求出∠AMC即可．

解答 解：取BD的中点M，连接AM，CM．
∵AB=AD=BC=CD，
∴AM⊥BD，CM⊥BD，
∴∠AMC为二面角A-BD-C的平面角．
∵AB=AD=BC=CD=a，BD=$\sqrt{2}$a，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴AM=CM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴cos∠AMC=$\frac{A{M}^{2}+C{M}^{2}-A{C}^{2}}{2AM•CM}$=-$\frac{1}{2}$．
∴∠AMC=120°．

点评 本题考查了二面角的定义与计算，属于中档题．