已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点,点是椭圆上不同于的任意一点,设直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当,在焦点在轴上的椭圆上求一点Q,使该点到直线(的距离最大。
(3)试判断乘积“(”的值是否与点(的位置有关,并证明你的结论;
(1)(或(;(2) (;(3) 的值与点的位置无关
解析试题分析:(1)注意要分类讨论,顶点是短轴顶点,还是长轴顶点;(2)椭圆上到(距离最大的点是与直线(平行且与椭圆相切的点;(3)利用点P在椭圆上满足椭圆方程,设点P坐标,带入椭圆方程,通过变形,即可知(=,与k无关.
试题解析:(1)双曲线(的左右焦点为(,即(的坐标分别为(. 所以设椭圆的标准方程为(,则(,
且(,所以(,从而(,
所以椭圆(的标准方程为(或(
(2) 当(时,(,故直线(的方程为(即(,
设与(平行的直线方程为:x+2y+m=0,即x=-2y-m,代入椭圆方程得:,
,∵求距离最大,∴,代入方程,解得:,∴点Q(;
(3)设则,即
.所以的值与点的位置无关,恒为.
考点:(1)椭圆双曲线的标准方程;(2)直线与圆锥曲线的位置关系.
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已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过焦点斜率为()的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,已知,,是椭圆上不同的三点,,,在第三象限,线段的中点在直线上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点C的坐标;
(3)设动点在椭圆上(异于点,,)且直线PB,PC分别交直线OA于,两点,证明为定值并求出该定值.
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已知椭圆的焦距为,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程.
(2)设斜率为的直线与相交于、两点,记面积的最大值为,证明:.
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如图,椭圆经过点,其左、右顶点分别是、,左、右焦点分别是、,(异于、)是椭圆上的动点,连接交直线于、两点,若成等比数列.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)求证:以线段为直径的圆过点.
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已知椭圆:的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为,是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.
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已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?
若是,求出m+n的值;否则,说明理由.
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在平面直角坐标系中,点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4,其中C1:,C2:. 设点P的轨迹为.
(1)求C的方程;
(2)设直线与C交于A,B两点.问k为何值时?此时的值是多少?
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式.
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