Question

12．下列命题中正确的命题的序号是②
①命题“?x∈R，使得x²-1＜0”的否定是“?x∈R”均有x²-1＜0”
②命题“若x=3，则x²-2x-3=0”的否命题是“若x≠3，则x²-2x-3≠0”
③命题“若a，b∈R，那么log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b“是“3^a＜3^b”的必要不充分条件
④命题“若x，y∈R，cosx=cosy“是“x=y”的充要条件．

Answer 1

分析 ①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；
②根据原命题的否命题，判断②正确；
③判断充分性和必要性是否成立即可；
④判断充分性和必要性是否成立即可．

解答 解：对于①，命题“?x∈R，使得x²-1＜0”的否定是
“?x∈R”均有x²-1≥0”，∴①错误；
对于②，命题“若x=3，则x²-2x-3=0”的否命题是
“若x≠3，则x²-2x-3≠0”，∴②正确；
对于③，a，b∈R时，由log${\;}_{\frac{1}{2}}$a＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$b得0＜a＜b，∴3^a＜3^b，充分性成立；
由3^a＜3^b得a＞b，不能得出${log}_{\frac{1}{2}}$a＞${log}_{\frac{1}{2}}$b，必要性不成立；
是充分不必要条件，③错误；
对于④，x，y∈R，当cosx=cosy时，不能得出x=y，充分性不成立，
当x=y时，cosx=cosy成立，即必要性成立，是必要不充分条件，④错误；
综上，正确的命题序号是②．
故答案为：②．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，是综合题．