Question

13．已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA．

Answer 1

分析 先利用高的定义得到∠DEC=∠DFC=90°，则根据圆周角定理可判断点E、F在以CD为直径的圆上，所有∠CEF=∠CDF，再利用等角的余角相等得到∠CDF=∠B，然后加上公共角可判断△CEF∽△CBA．

解答 证明：∵DE、DF为AB和BC边上的高，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∴点E、F在以CD为直径的圆上，
∴∠CEF=∠CDF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB=90°，即∠CDF+∠BDF=90°，
而∠B+∠BDF=90°，
∴∠CDF=∠B，
而∠ECF=∠BCA，
∴△CEF∽△CBA．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了圆周角定理．