Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PC与平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥BD．PA⊥BD．推出BD⊥平面PAC，然后证明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出相关点的坐标，平面PDB的法向量，设PC与平面PBD所成角为θ，利用空间向量的数量积求解PC与平面PBD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，$BD\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，$PA\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面PAC，$AC\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
∵$BD\begin{array}{l}?\\≠\end{array}$平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，$AO=CO=\sqrt{3}$，如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则$P（\sqrt{3}，0，2）$，$A（\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），D（0，-1，0），$C（-\sqrt{3}，0，0）$，所以$\overrightarrow{PB}=（-\sqrt{3}，1，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（-\sqrt{3}，-1，-2）$，$\overrightarrow{PC}=（-2\sqrt{3}，0，-2）$．
设平面PDB的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0\end{array}\right.$则$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y-2z=0\\-\sqrt{3}x-y-2z=0\end{array}\right.$解得y=0，令$z=\sqrt{3}$，得x=-2，∴$\overrightarrow n=（-2，0，\sqrt{3}）$．
设PC与平面PBD所成角为θ，则$sinθ=|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{PC}＞|=|\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{PC}|}}|=\frac{{2\sqrt{3}}}{{4\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
则PC与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理与平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．