Question

已知函数f（x）=asinx-x+b（a、b均为正的常数）．
（1）求证函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数f（x）在处有极值
①对于一切，不等式f（x）＞sinx+cosx总成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间（上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵函数f（x）=asinx﹣x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）﹣a﹣b+b=a[sin（a+b）﹣1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）f′（x）=acosx﹣1，∵函数f（x）在处有极值，
∴f′（）=acos﹣1=0，
∴a=2
∴f（x）=asinx﹣x+b=2sinx﹣x+b
①不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx﹣sinx+x对于一切总成立
设g（x）=cosx﹣sinx+x，
∴g′（x）=﹣sinx﹣cosx+1=
∵，∴，
∴，
∴g′（x）≥0
∴g（x）=cosx﹣sinx+x在上是单调增函数，且最大值为﹣1+
欲使b＞cosx﹣sinx+x对于一切总成立，只需要b＞﹣1+即可
②由f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得x∈（k∈Z）
∴函数f（x）单调递增区间为（k∈Z）
∵函数f（x）在区间（上单调递增
∴，
∴6k≤m≤1+3k，且m＞0
∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），
∴＜k≤0
∴k=0，0≤m≤1
即实数m的取值范围为[0，1]．