Question

8．以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐际系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），
（Ⅰ）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|

Answer 1

分析 （Ⅰ）将原极坐标方程ρcos²θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；
（Ⅱ）求出直线l的直角坐标方程，代入弦长公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲线C的直角坐标方程为y²=4x；
（Ⅱ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t为参数），
∴直线l的直角坐标方程是：y=$\sqrt{3}$（x-1），
如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：3x²-10x+3=0，
故x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1，
故|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{{（\frac{10}{3}）}^{2}-4}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了参数方程、极坐标方程和普通方程的转化，考查弦长公式，是一道中档题．